Ciąg geometryczny: wzory, własności i przykładowe zadania

Spis treści:

• Podstawowe równania ciągu geometrycznego
• Wizualizacja członów ciągu geometrycznego
• Zadania praktyczne

Wyobraź sobie, że masz probówkę z bakteriami, które rozmnażają się co dwie godziny. Początkowa liczba bakterii wynosi 10. Następnie proces ich wzrostu będzie przebiegał w następujący sposób:

• Początkowa liczba bakterii wynosi 10 jednostek.
• Po dwóch godzinach liczba bakterii wyniesie 20, ponieważ 10 pomnożone przez 2 daje 20.
• Po czterech godzinach otrzymujemy: 20 pomnożone przez 2, co daje 40 bakterii.
• Po sześciu godzinach otrzymujemy 80 bakterii, jeśli początkowo było ich 40, i mnożymy tę liczbę przez 2.

Co dwie godziny liczba bakterii podwaja się. To zjawisko jest przykładem postępu geometrycznego. Podajmy oficjalną definicję.

Ciąg geometryczny to ciąg liczb, w którym każda kolejna wartość jest uzyskiwana przez pomnożenie poprzedniej przez stały współczynnik, zwany mianownikiem lub współczynnikiem progresji.

W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy, czym jest ciąg geometryczny, jego cel i przyczyny szybkiego wzrostu liczby w nim zawartej. Na końcu artykułu znajdziesz ćwiczenia praktyczne, które pomogą Ci lepiej zrozumieć omawiany materiał.

Spis treści

• Ciąg geometryczny to ciąg liczb, w którym każda kolejna wartość jest uzyskiwana przez pomnożenie poprzedniej przez stały współczynnik, zwany mianownikiem ciągu. Podstawowe wzory związane z ciągiem geometrycznym to:

  1. Całkowitą n-tą wartość progresji można wyrazić za pomocą pierwszej wartości i mianownika: a_n = a_1 * q^(n-1), gdzie a_n jest n-tym wyrazem, a_1 jest pierwszym wyrazem, q jest mianownikiem, a n jest liczbą porządkową wyrazu.

  2. Sumę pierwszych n wyrazów takiej progresji oblicza się za pomocą wzoru: S_n = a_1 * (1 ≤ q^n) / (1 ≤ q), pod warunkiem, że q jest różne od 1. Jeśli q jest równe 1, to suma to po prostu n * a_1.

  3. Iloczyn n wyrazów ciągu geometrycznego można obliczyć za pomocą wzoru: P_n = (a_1^n * q^(n(n-1)/2)), gdzie P_n jest iloczynem pierwszych n wyrazów.

  Te wzory pozwalają na efektywną pracę z ciągami geometrycznymi i rozwiązywanie różnych problemów z nimi związanych.

• Wykres ciągu progresywnego
• Zadania praktyczne

Podstawowe równania ciągu geometrycznego

Przyjrzyjmy się kluczowym wzorom związanym z ciągiem geometrycznym.

Korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu, możesz wyznaczyć dowolny element ciągu, mając informacje o pierwszym wyrazie i mianowniku. Na przykład pozwala to obliczyć liczbę bakterii w probówce po 24 godzinach, jeśli wiesz, że dzielą się co dwie godziny.

Ogólnie rzecz biorąc, ten wzór wygląda następująco:

an = a1 × qn−1

W nim:

• an reprezentuje n-ty element progresji.
• a1 jest początkowym elementem progresji.
• q jest współczynnikiem progresji, który służy do określenia różnicy między dwoma kolejnymi wyrazami danej progresji.
• n jest numerem wyrazu.

Skupmy się ponownie na naszych bakteriach i sprawdźmy, ile z nich gromadzi się w probówce w ciągu 24 godzin. W tym przypadku początkowa liczba bakterii będzie pierwszym elementem ciągu, a dzielnikiem będzie liczba godzin, w ciągu których się podzielą.

an = 10 × 2n−1

Bakterie rozmnażają się co dwie godziny, co pozwala im dzielić się 12 razy w ciągu dnia. Chcemy poznać wartość 13. wyrazu tego ciągu.

a13 = 10 razy 212 to 10 razy 4096, co ostatecznie daje 40 960.

Dlatego po 24 godzinach liczba bakterii osiągnie 40 960.

Ważne!

Ciąg geometryczny może objawiać się na dwa sposoby: rosnąco lub malejąco. Gdy mianownik q przekroczy 1, obserwuje się wzrost ciągu, ponieważ każdy nowy wyraz jest większy od swojego poprzednika. I odwrotnie, jeśli q jest mniejsze niż 1, ciąg zaczyna maleć.

— ciąg arytmetyczny, w którym każda kolejna liczba jest większa od poprzedniej.

— ciąg, w którym każdy kolejny element jest mniejszy od poprzedniego.

Jak obliczyć sumę kilku wyrazów ciągu? Najbardziej oczywistym sposobem jest zidentyfikowanie wymaganych wyrazów i ich zsumowanie. Jednak ta metoda nadaje się tylko do małych ciągów. Jeśli liczba wyrazów osiągnie dziesiątki, ręczne sumowanie zajmie dużo czasu.

Zadanie można uprościć, stosując wzór na sumę pierwszych wyrazów ciągu.

W tym:

• Sn oznacza sumę pierwszych n elementów ciągu.
• a1 jest początkowym elementem ciągu.
• q jest wartością, która służy jako mianownik ciągu.
• n oznacza liczbę elementów, których sumę należy obliczyć.

Należy podkreślić, że podany wzór ma zastosowanie tylko w sytuacjach, gdy mianownik ciągu nie jest równy jedności (q ≠ 1). Jeśli q = 1, suma pierwszych n wyrazów jest obliczana inaczej:

Sn = n ⋅ a1

W ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego elementu jest równy iloczynowi jego sąsiadów. Ta właściwość nazywana jest właściwością charakterystyczną. Pozwala nam określić, czy ciąg liczb jest postępem geometrycznym.

Na podstawie przedstawionego stwierdzenia możemy podnieść do kwadratu drugi element ciągu i pomnożyć pierwszy i trzeci element tego postępu. Zgodnie z charakterystyczną właściwością wynik powinien być równy.

Przeczytaj również:

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każdy kolejny element jest uzyskiwany przez dodanie do poprzedniego stałej wartości, zwanej różnicą. Różnica ta może być dodatnia lub ujemna, co wpływa na kierunek i charakter ciągu.

Podstawowy wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego jest następujący:

a_n = a_1 + (n — 1) * d,

gdzie a_n jest poszukiwanym n-tym wyrazem, a_1 jest pierwszym elementem, d jest różnicą, a n jest liczbą porządkową elementu.

Sumę pierwszych n wyrazów ciągu można obliczyć, korzystając z następującego wzoru:

S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n),

gdzie S_n oznacza sumę pierwszych n wyrazów, a_1 jest pierwszym elementem, a a_n jest ostatnim z nich.

Rozważmy przykład: załóżmy, że mamy ciąg arytmetyczny składający się z liczb 3, 7, 11, 15 itd. W tym przypadku pierwszym elementem jest 3, a różnica d wynosi 4. Jeśli chcemy określić, jaki będzie dziesiąty wyraz tego ciągu, używamy wzoru:

a_10 = 3 + (10 - 1) * 4 = 3 + 36 = 39.

W związku z tym dziesiątym elementem tego ciągu będzie 39. Teraz określmy sumę pierwszych 10 wyrazów. Ostatnim elementem w tym przypadku będzie a_10 = 39, a podstawiając wartości do wzoru na sumę, otrzymujemy:

S_10 = (10 / 2) * (3 + 39) = 5 * 42 = 210.

Suma pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu arytmetycznego wynosi zatem 210.

W malejącym ciągu geometrycznym, w którym moduł współczynnika q jest mniejszy od jedności, każdy kolejny wyraz staje się mniejszy od poprzedniego. Możemy jednak obliczyć sumę tych wyrazów, korzystając z następującego wzoru:

W nim:

• S∞ jest sumą nieskończonej liczby wyrazów ciągu.
• a1 jest początkowym elementem ciągu.
• q jest mianownikiem ciągu, pod warunkiem, że wartość bezwzględna q jest mniejsza od jedności.

Mianownik ciągu geometrycznego odzwierciedla, o ile każdy kolejny element zmienia się w porównaniu z poprzednim — rośnie lub maleje. Aby to obliczyć, możesz użyć następującego wzoru:

W nim:

• q jest wartością używaną jako mianownik w ciągu.
• an jest elementem ciągu.
• an+1 oznacza element następujący po bieżącym progresja elementów.

Załóżmy, że mamy ciąg 2, 6, 18, 54. Aby określić jego mianownik, możemy użyć wzoru i podstawić pierwszy i drugi element ciągu do obliczeń.

W związku z tym mianownik tego postęp wynosi 3.

Znając jeden z elementów postępu i jego mianownik, możemy wyznaczyć pierwszy wyraz tego postępu. Aby to zrobić, użyj następującego wzoru:

W którym:

• an jest rozpoznanym elementem progresji;
• q jest mianownikiem;
• a1 jest początkowym elementem progresji.

Załóżmy, Spójrzmy ponownie na ciąg 2, 6, 18, 54. Załóżmy, że znamy tylko trzeci element, a3 = 18, i że w poprzednim przykładzie określiliśmy mianownik. W tej sytuacji mamy wystarczająco dużo informacji, aby obliczyć pierwszy element, a1:

Pierwszym elementem progresji jest zatem 2.

Ważne!

Progresja geometryczna może być zarówno rosnąca, jak i malejąca. Gdy mianownik q przekracza jeden (q > 1), postęp uważa się za rosnący, ponieważ każdy kolejny element jest większy od poprzedniego. Jeśli q jest mniejsze od jedności (q < 1), progresja zaczyna się zmniejszać.

— sekwencja, w której każdy kolejny element jest większy od poprzedniego.

— progresja, w której wartości zmniejszają się sekwencyjnie.

Wizualizacja elementów ciągu geometrycznego

Przeanalizujmy układ wyrazów ciągu w dwuwymiarowym układzie współrzędnych. Pozioma oś x będzie wskazywać numery wyrazów ciągu n, a pionowa oś y będzie reprezentować wartości tych wyrazów an. W tym przypadku wykres tego ciągu będzie funkcją wykładniczą.

Zachowanie wykresów ciągu geometrycznego zależy od wartości mianownika q. Jeśli q jest większe od jedności, wykres będzie rosnąć, a dla wartości q między zerem a jednością – maleć.

W przypadkach, gdy q jest ujemne, kierunek wykresu będzie również zależał od jego wartości bezwzględnej.

• Pod warunkiem, że q jest większe od jedności, wykres wykazuje wzrost wykładniczy, gdzie wartości progresji rosną, a krzywa wznosi się.
• Pod warunkiem, że q jest mniejsze od zera, wykres będzie się zmieniał, oscylując w górę i w dół, w zależności od tego, czy liczba wyrazów jest parzysta, czy nieparzysta.

Zwróć uwagę na sekwencję 3, 6, 12, 24, ..., którą można opisać wzorem 3 × 2^(n−1).

Jeśli naniesiemy liczby wyrazów progresji n na poziomą oś x, a odpowiadające im wartości tych wyrazów an na pionową oś y, to wykres progresji geometrycznej będzie przedstawiał pewną funkcję.

y = 3 × 2x−1

• Zakładając, że 0 < q < 1, wykres będzie wykazywał spadek wykładniczy. Wyrazy tej progresji będą maleć. Krzywa będzie zbliżać się do zera, ale nigdy nie przekroczy tego punktu.

Przeanalizujmy ciąg malejący.

Podczas wykreślania wartości ciągu geometrycznego indeksy wyrazów ciągu n będą zaznaczane na osi X, a odpowiadające im wartości an będą zaznaczane na osi Y. W rezultacie punkty reprezentujące wyrazy ciągu geometrycznego zajmą określone pozycje na wykresie funkcji:

Praktyczne Mamy już wszystkie niezbędne wzory i charakterystyki ciągów geometrycznych, które mogą być przydatne w rozwiązywaniu różnych problemów praktycznych. Poniżej znajdują się trzy zadania, każde z nich opatrzone szczegółową analizą. Zanim spojrzysz na odpowiedź, spróbuj rozwiązać je samodzielnie.

W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz oznaczamy jako a1 i w tym przypadku jest on równy 3. Mianownik ciągu q wynosi 2.

Aby znaleźć trzeci wyraz a3, używamy wzoru:

a3 = a1 * q^(3-1) = 3 * 2^2 = 3 * 4 = 12.

Teraz znajdźmy czwarty wyraz a4:

a4 = a1 * q^(4-1) = 3 * 2^3 = 3 * 8 = 24.

W związku z tym trzeci wyraz ciągu wynosi 12, a czwarty 24.

Rozwiązanie

Ogólny wzór dla n-tego elementu ciągu przedstawia się następująco:

an = a1 × qn−1

Użyjmy go do obliczenia a3 i a4. W tym celu wystarczy podstawić znane wartości i wykonać niezbędne obliczenia.

Określmy trzeci element ciągu (a3):

a3 = 3 × 2^(3-1) = 3 × 2^2 = 3 × 4 = 12

Określmy czwarty element ciągu (a4):

a4 = 3 × 24^(-1) = 3 × 23 = 3 × 8 = 24

Wyniki: a3 wynosi 12, a4 wynosi 24.

Aby obliczyć sumę pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego, zacznijmy od ustalenia wzoru na sumę pierwszych n wyrazów. Ogólnie rzecz biorąc, sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego oblicza się za pomocą wzoru:

S_n = a_1 * (1 — q^n) / (1 — q),

gdzie S_n jest sumą pierwszych n wyrazów, a_1 jest pierwszym wyrazem ciągu, q jest mianownikiem, a n jest liczbą wyrazów.

W tym przypadku mamy:
— a_1 = 1,
— q = 3,
— n = 5.

Podstaw te wartości do wzoru:

S_5 = 1 * (1 — 3^5) / (1 — 3).

Najpierw znajdźmy 3^5:

3^5 = 243.

Teraz podstawmy tę wartość:

S_5 = 1 * (1 — 243) / (1 — 3) = (1 — 243) / (-2).

Teraz obliczmy 1 — 243:

1 — 243 = -242.

Teraz podstawiamy:

S_5 = -242 / (-2) = 121.

Suma pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego wynosi zatem 121.

Rozwiązanie:

Suma pierwszych n elementów ciągu geometrycznego jest wyrażona następującym wzorem:

Wstaw dane podane w treści zadania do równania:

Odpowiedź: suma pierwszych pięciu elementów ciągu S5 wynosi 121.

Aby dowiedzieć się, czy ciąg liczb 2, 6, 19, 57, 172 jest ciągiem geometrycznym, musimy sprawdzić, czy istnieje stała zależność między kolejnymi wyrazami.

Aby to zrobić, znajdujemy stosunek każdego kolejnego wyrazu do poprzedniego:

1. \( \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( \frac{19}{6} \ approx 3,1667 \)
3. \( \frac{57}{19} \ approx 3 \)
4. \( \frac{172}{57} \ approx 3,0158 \)

Ponieważ relacje między wyrazami ciągu nie są stałe (różne wartości), możemy wnioskować, że ten ciąg nie jest postępem geometrycznym.

Rozwiązanie:

Jeśli przyjrzysz się uważnie ciągowi liczb 2, 6, 19, 57, 172, może się wydawać, że rosną one w szybkim tempie, przypominając postęp geometryczny. Przeanalizujmy je jednak dokładniej, korzystając z charakterystycznej własności.

Należy obliczyć kwadrat drugiego elementu ciągu, równy a2 = 6, a pierwszy element a1 = 2 pomnożyć przez trzeci element a3 = 19. Jeśli uzyskane wartości są równe, wówczas ten ciąg liczb można sklasyfikować jako ciąg geometryczny.

Odpowiedź: wyniki są różne, więc ten ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o programowaniu i kodzie, dołącz do naszego kanału na Telegramie!

Czytaj także:

• Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda kolejna wartość jest uzyskiwana przez dodanie do poprzedniego elementu stałej wartości, zwanej różnicą. Główne cechy tego ciągu obejmują jego ogólne wyrażenie, wzory na znalezienie n-tego wyrazu oraz sumy pierwszych n wyrazów.

  Definicję ciągu arytmetycznego można sformułować następująco: jeśli a1 jest pierwszym wyrazem, a d jest stałą różnicą, to n-ty wyraz ciągu można wyrazić za pomocą wzoru: an = a1 + (n ≤ 1)d. Tutaj an oznacza n-ty wyraz ciągu.

  Sumę pierwszych n wyrazów oblicza się za pomocą następującego wzoru: Sn = n/2 * (a1 + an), gdzie Sn jest sumą pierwszych n wyrazów, a a1 i an są odpowiednio pierwszym i n-tym wyrazem.

  Na przykład, jeśli mamy ciąg arytmetyczny zaczynający się od 3 i mający różnicę 2, to pierwsze kilka wyrazów będzie: 3, 5, 7, 9 i tak dalej. Korzystając z powyższych wzorów, możesz łatwo zidentyfikować dowolny element ciągu i obliczyć sumę pierwszych n elementów.

• „Mam 47 lat i wciąż zastanawiam się, jaki kierunek studiów informatycznych powinienem wybrać”: historia rozwoju kariery czołowego menedżera w dziedzinie nauki o danych.
• System liczbowy binarny, znany również jako binarny, to metoda reprezentacji liczb oparta na użyciu tylko dwóch symboli: 0 i 1. System ten stanowi podstawę całej nowoczesnej technologii komputerowej, ponieważ informacje w urządzeniach cyfrowych są przechowywane i przetwarzane w tym formacie.

  W systemie binarnym każda liczba jest tworzona za pomocą kombinacji tych dwóch cyfr. Na przykład liczba «101» w systemie binarnym odpowiada liczbie 5 w systemie dziesiętnym. Każda pozycja w liczbie binarnej ma swoją wartość, która jest potęgą liczby dwa, zaczynając od zera po prawej stronie. Zatem pierwsza pozycja odpowiada 2^0, druga — 2^1 itd.

  Aby korzystać z systemu binarnego, ważna jest umiejętność przeliczania liczb między systemem binarnym a dziesiętnym. Aby przeliczyć liczbę z systemu dziesiętnego na binarny, należy podzielić liczbę przez 2 i zapisać resztę. Proces ten powtarza się, aż wynik dzielenia będzie równy zero. Otrzymane reszty zapisuje się w odwrotnej kolejności. Proces odwrotny, czyli zamiana z systemu binarnego na dziesiętny, wymaga dodania wartości wszystkich jednostek w liczbie binarnej, pobranych z odpowiednimi potęgami liczby dwa.

  Zastosowanie systemu binarnego ma wiele zastosowań, zwłaszcza w programowaniu i elektronice cyfrowej, gdzie pozwala na efektywne przetwarzanie informacji i sterowanie urządzeniami.