Jakie liczby uznajemy za niewymierne: definicje, właściwości i przykłady

Spis treści:

• Liczby niewymierne: definicja
• Czym różnią się liczby niewymierne od liczb wymiernych
• Właściwości liczb niewymiernych
• Liczby niewymierne w geometrii
• Praca z liczbami niewymiernymi w Pythonie
• Krótko o najważniejszych kwestiach

Liczby odgrywają istotną rolę w naszym świecie i spotykamy się z nimi nieustannie. Istnieją jednak liczby, których nie da się dokładnie zapisać jako ułamek zwykły – są to liczby niewymierne. Zostały one odkryte już w VII wieku p.n.e., kiedy starożytni matematycy zdali sobie sprawę, że nie wszystkie liczby naturalne dają pierwiastek kwadratowy. Liczby niewymierne, takie jak π i √2, mają nieskończoną liczbę miejsc po przecinku i nie można ich przedstawić jako ułamków zwykłych ani dziesiętnych. To odkrycie było ważnym krokiem w rozwoju matematyki i otworzyło nowe horyzonty dla badań w dziedzinie liczb i geometrii.

Liczby niewymierne stanowią ważną kategorię liczb w matematyce. Różnią się one od ułamki zwykłe i liczby całkowite, ponieważ nie można ich zapisać jako ułamki proste. Oznacza to, że liczb niewymiernych nie można zapisać w postaci a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest niezerowe. Klasycznymi przykładami liczb niewymiernych są pierwiastek kwadratowy z dwóch i π.

Ponadto liczby niewymierne mają nieskończony, nieokresowy zapis dziesiętny, co czyni je unikalnymi w porównaniu z liczbami wymiernymi, które mogą mieć skończony lub okresowy zapis dziesiętny. Znaczenie liczb niewymiernych jest widoczne nie tylko w teorii, ale także w zastosowaniach praktycznych, takich jak geometria i analiza.

Praca z liczbami niewymiernymi jest również dość prosta w języku programowania Python. Na przykład można użyć biblioteki matematycznej do obliczania pierwiastków i pracy z liczbą π. Zatem zrozumienie liczb niewymiernych i ich właściwości nie tylko poszerza horyzonty matematyczne, ale także otwiera nowe możliwości w programowaniu.

Liczby niewymierne są ważną kategorią w matematyce, odrębną od Liczby całkowite i liczby wymierne. Nie można ich zapisać jako ułamka, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastek kwadratowy z 2, π (pi) i e. Liczby te mają nieskończoną, niepowtarzalną reprezentację dziesiętną, co czyni je unikalnymi.

Liczby niewymierne odgrywają kluczową rolę w różnych dziedzinach matematyki, w tym w geometrii, analizie i teorii liczb. Na przykład w geometrii liczby niewymierne są niezbędne do dokładnego obliczenia długości przekątnej kwadratu lub koła. W analizie są wykorzystywane do badania granic i ciągłości.

Zrozumienie liczb niewymiernych pomaga pogłębić wiedzę o systemach liczbowych i ich właściwościach. Liczby te nie tylko wzbogacają teorie matematyczne, ale mają również praktyczne zastosowania w nauce, inżynierii i innych dyscyplinach. Badanie liczb niewymiernych to ważny krok w kierunku głębszego zrozumienia świata liczb i jego wzorców.

• Definicja
• Właściwości
• Różnice w stosunku do liczb wymiernych Liczby
• Zastosowanie w geometrii
• Przykłady pracy w Pythonie
• Przegląd

Ekspert Skillbox w dziedzinie sieci komputerowych i cyberbezpieczeństwa. Autor kanału „Curly Microphone” na Telegramie, gdzie dzieli się aktualnymi wiadomościami i przydatnymi wskazówkami dotyczącymi cyberbezpieczeństwa. Zdobądź Zdobądź przydatną wiedzę i rozwijaj swoje umiejętności w zakresie zarządzania sieciami i bezpieczeństwa informacji. Śledź aktualizacje i bądź na bieżąco z najnowszymi trendami w świecie technologii.

Liczby niewymierne: Definicja

Liczba niewymierna to liczba, której nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik jest liczbą całkowitą, a mianownik liczbą naturalną. Ta definicja może wydawać się skomplikowana, ale postaramy się ją wyjaśnić bardziej szczegółowo. Liczb niewymiernych nie można przedstawić w postaci dziesiętnej za pomocą skończonej liczby cyfr lub kropek, co odróżnia je od liczb wymiernych. Przykładami liczb niewymiernych są takie znane wartości, jak pierwiastek kwadratowy z dwóch, pi i e. Liczby te mają nieskończone, nieokresowe zapisy dziesiętne, co czyni je unikatowymi w świecie matematyki. Zrozumienie liczb niewymiernych jest ważne dla nauki bardziej złożonych pojęć matematycznych i odgrywa kluczową rolę w różnych dziedzinach nauki i inżynierii.

Liczba niewymierna to liczba, którą można przedstawić jako nieskończony, nieregresywny ułamek. Termin „nieskończony” oznacza, że ​​liczba ma nieskończoną liczbę cyfr po przecinku. Słowo Określenie „nieokresowe” oznacza brak powtarzającego się ciągu cyfr. W przeciwieństwie do liczb wymiernych, które można zapisać jako ułamek zwykły, liczb niewymiernych nie da się dokładnie przedstawić jako ułamka dziesiętnego skończonego lub okresowego. Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastek kwadratowy z dwóch, pi i e. Liczby te odgrywają ważną rolę w matematyce, fizyce i innych naukach, ponieważ ich unikalne właściwości pozwalają rozwiązywać złożone problemy i opisywać różne zjawiska.

Liczba √2 jest niewymierna. Próbując obliczyć jej wartość za pomocą kalkulatora, otrzymujemy 1,4142135623 i tak dalej. Ułamek dziesiętny ciągnie się w nieskończoność i nie ma żadnego wzorca w jego ciągu. Liczb niewymiernych, takich jak √2, nie da się dokładnie zapisać jako ułamek zwykły, co czyni je interesującymi do badania w matematyce. Liczby te odgrywają ważną rolę w różnych dziedzinach, w tym w geometrii i analizie, podkreślając bogactwo i różnorodność systemów liczbowych.

Liczby niewymierne stanowią ważną kategorię liczb w matematyce. Nie można ich zapisać jako ułamka, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Przykładami liczb niewymiernych są takie znane liczby, jak √2, π i e. Na przykład √2 jest pierwiastkiem kwadratowym z 2 i jest w przybliżeniu równe 1,41421356. Liczba pi, będąca ilorazem obwodu koła do jego średnicy, wynosi około 3,14159 i odgrywa kluczową rolę w geometrii i trygonometrii. Liczba e, wynosząca około 2,71828, jest podstawą logarytmu naturalnego i znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach, w tym w modelowaniu finansowym i rachunku prawdopodobieństwa. Te przykłady podkreślają różnorodność liczb niewymiernych i ich znaczenie w badaniach matematycznych i zastosowaniach.

• Pi: π = 3,1415926535…
• Liczba Eulera: e = 2,7182818284…
• Złoty podział: φ = 1,6180339887…
• √2 = 1,4142135623…
• √3 = 1,7320508075…
• √5 = 2,2360679774…
• √7 = 2,6457513110…
• √11 = 3,3166247903…

Ciekawostką jest to, że może to być świetny Sposób na przyciągnięcie uwagi i wzbudzenie zainteresowania odbiorców. Takie fakty często zawierają unikalne i nieoczekiwane spostrzeżenia, które mogą wzbogacić wiedzę czytelników i uczynić treść bardziej angażującą. Wykorzystanie interesujących faktów w tekstach nie tylko zwiększa zaangażowanie, ale także sprzyja lepszemu zapamiętywaniu. Ważne jest, aby wybierać fakty istotne dla tematu i kontekstu, aby płynnie wpisywały się w ogólne znaczenie materiału. Takie podejście pomaga utrzymać uwagę użytkowników i poprawia ogólną strukturę treści, co z kolei ma pozytywny wpływ na SEO.

Liczba niewymierna √2 została po raz pierwszy odkryta przez jednego z uczniów Pitagorasa podczas poszukiwań przeciwprostokątnej trójkąta równobocznego. Odkrycie to miało znaczący wpływ na postrzeganie matematyki, która do tej pory była uważana za naukę ścisłą i precyzyjną. Pojawienie się liczb nieskończonych, takich jak √2, zakwestionowało tradycyjne pojęcie liczb i ich własności, zmieniając koncepcję matematyki jako dobrze zdefiniowanej dziedziny wiedzy.

Liczba π (pi) jest jednym z najsłynniejszych przykładów liczb niewymiernych. Naukowcy wciąż rywalizują o obliczenie maksymalnej liczby miejsc po przecinku dla tej liczby. W 2022 roku zespół programistów z Google ustanowił światowy rekord, obliczając około 100 bilionów cyfr. Jednak π nadal nie wykazuje okresu powtarzalności, co potwierdza jej niewymierną naturę. Zainteresowanie liczbą π nie maleje, a badania w tej dziedzinie wciąż przyciągają uwagę matematyków i technologów na całym świecie.

Liczby niewymierne to ciągi nieskończone, co stwarza hipotetyczną możliwość znalezienia numeru telefonu, daty urodzenia lub innych zakodowanych w nich informacji. Biorąc pod uwagę nieskończoność tych liczb, można argumentować, że takie zbieżności mogą występować wielokrotnie. Zjawisko to przyciąga uwagę zarówno matematyków, jak i miłośników liczb, podkreślając wyjątkowość i tajemniczość liczb niewymiernych w świecie matematyki.

Czym różnią się liczby niewymierne od wymiernych?

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać jako ułamek, czyli jako wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych. Na przykład liczbę 0,5 można przedstawić jako ułamek 5/10, a liczbę całkowitą 6 jako 6/1. Liczby wymierne obejmują zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, a także zero. Stanowią one ważną część matematyki i są wykorzystywane w różnych dziedzinach, w tym w nauce, inżynierii i finansach.

W ułamkach, gdy licznik jest dzielony przez mianownik, otrzymujemy jasny i przewidywalny wynik. Może to być liczba całkowita lub ułamek dziesiętny. W niektórych przypadkach wynik może być nieskończonym ułamkiem powtarzalnym, w którym po przecinku występuje powtarzalna wartość. Zrozumienie tych pojęć jest ważnym aspektem matematycznej analizy ułamków i ich własności.

Liczby niewymierne mają unikalną strukturę. Niezależnie od tego, jak bardzo się starasz, zawsze będą reprezentowane jako nieskończony, niepowtarzalny ułamek dziesiętny. Przykładem takiej liczby jest pi, która wynosi w przybliżeniu 3,1415926535... Dlatego liczb niewymiernych nie można zapisać jako ułamka zwykłego, ponieważ żadne dwie liczby całkowite nie mogą dzielić się w taki sposób. Takie liczby odgrywają ważną rolę w matematyce i różnych dyscyplinach naukowych, podkreślając bogactwo i złożoność systemu liczbowego.

Liczby niewymierne i wymierne razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych, których aktywnie używamy w życiu codziennym do różnych obliczeń. Liczby rzeczywiste obejmują szeroki zakres wartości i są podstawą działań matematycznych, z którymi spotykamy się na co dzień. Poza tym zbiorem istnieją jednak inne rodzaje liczb, takie jak liczby urojone, które stanowią odrębny i interesujący obszar badań w matematyce.

Właściwości Liczby niewymierne

Liczby niewymierne, podobnie jak inne kategorie liczbowe, mają unikalne właściwości. Rozważmy najważniejsze z nich.

Dodanie liczby niewymiernej do liczby wymiernej zawsze daje liczbę niewymierną. Dzieje się tak, ponieważ liczb niewymiernych nie da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, a dodanie liczby wymiernej, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, nie zmienia ich właściwości. Zatem wynik dodawania zachowuje swoją niewymierność.

π + 2 = 3,1415926535… + 2 = 5,1415926535…

W tym wyrażeniu π, czyli pi, jest w przybliżeniu równe 3,1415926535. Po dodaniu tej liczby do 2 otrzymujemy wynik 5,1415926535. Pi odgrywa ważną rolę w matematyce, zwłaszcza w geometrii, gdzie jest używane do obliczania obwodu i pola okręgów. Dodanie pi do innych liczb, takich jak 2, pokazuje jego zastosowanie w różnych obliczeniach matematycznych.

Pierwiastek kwadratowy z dwóch (√2) wynosi w przybliżeniu 1,4142135623. Dodanie 3 do tej wartości daje w przybliżeniu 4,4142135623. To proste równanie matematyczne ilustruje właściwości liczb niewymiernych i pokazuje, jak proste działania mogą prowadzić do bardziej złożonych wyników.

Zasada ta ma również zastosowanie do odejmowania.

Liczba pi, równa 3,1415926535…, minus 3, jest równa 0,1415926535…. Ta wartość jest wynikiem odjęcia 3 od pi. Różnica między pi a 3 może być przydatna w różnych obliczeniach matematycznych i zastosowaniach związanych z geometrią i trygonometrią. Wartość pi służy do określania obwodu i pola koła, więc zrozumienie jej właściwości, w tym odejmowania, jest ważne dla studentów i profesjonalistów w dziedzinie matematyki.

Rozwiązanie równania √7 − 1,645 demonstruje obliczenie pierwiastka kwadratowego z siedmiu, co wynosi w przybliżeniu 2,6457513110. Odejmowanie 1,645 daje 1,0007513110. Ten proces ilustruje zastosowanie pierwiastków kwadratowych w matematyce, co może być przydatne w różnych problemach algebry i geometrii. Właściwe zrozumienie operacji pierwiastkowania kwadratowego i ich własności jest ważnym aspektem edukacji matematycznej. Mnożenie liczby niewymiernej przez liczbę wymierną daje liczbę niewymierną. Ta zasada jest ważna w matematyce i pomaga nam zrozumieć właściwości liczb. Liczb niewymiernych, takich jak √2 lub π, nie można zapisać jako ułamka zwykłego, natomiast liczby wymierne to ułamki, w których licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Mnożenie liczby niewymiernej przez dowolną liczbę wymierną różną od zera nadal daje wynik niewymierny. Ta właściwość odgrywa kluczową rolę w różnych problemach matematycznych i twierdzeniach, dlatego warto ją studiować.

Iloczyn pi i 8 wynosi 3,1415926535… pomnożony przez 8, co daje 25,1327412287… Wartość ta reprezentuje obwód koła o średnicy 8 jednostek. Znajomość takich obliczeń matematycznych jest przydatna w wielu dziedzinach, w tym w inżynierii i architekturze, gdzie dokładne pomiary mają kluczowe znaczenie.

Pierwiastek kwadratowy z pięciu pomnożony przez trzy wynosi 2,2360679774… Pomnożenie tej wartości przez trzy daje 6,7082039324… Wynik ten można wykorzystać w różnych obliczeniach matematycznych i zastosowaniach, w których wymagana jest dokładna wartość iloczynu. Prawidłowe użycie pierwiastków i ich mnożenie odgrywa ważną rolę w matematyce, zwłaszcza w algebrze i geometrii.

Podczas odejmowania jednej liczby niewymiernej od drugiej, wynik może być wymierny lub niewymierny. Liczby niewymierne, które mają nieskończoną liczbę ułamków dziesiętnych, można łączyć na różne sposoby, co prowadzi do różnorodnych wyników. Na przykład, jeśli odejmiesz jedną liczbę niewymierną od innej liczby niewymiernej, wynik może być wymierny, jak w przypadku pierwiastka kwadratowego z 2 minus pierwiastek kwadratowy z 2, który wynosi 0, lub pozostać niewymierny, jak w przypadku pierwiastka kwadratowego z 2 minus 1. Zatem znaczenie badania właściwości liczb niewymiernych i ich interakcji otwiera nowe horyzonty w matematyce.

Pi (π) to stała matematyczna równa w przybliżeniu 3,1415926535. Jeśli odejmiesz pi od siebie, wynik będzie równy zero. To pokazuje unikalną właściwość liczby pi, która odgrywa ważną rolę w matematyce i geometrii. Zrozumienie wartości liczby pi i jej zastosowań jest ważne dla studentów i profesjonalistów z dziedziny nauk ścisłych, technologii, inżynierii i matematyki (STEM).

Różnica między pierwiastkami kwadratowymi z √3 i √2 wynosi 1,732050807… minus 1,4142135623… To obliczenie daje wynik 0,3178372451…, co jest dokładną wartością różnicy między tymi dwiema liczbami niewymiernymi. Zrozumienie takich działań na pierwiastkach kwadratowych jest ważne w matematyce, ponieważ pomaga rozwijać umiejętności pracy z wyrażeniami niewymiernymi i pogłębia wiedzę o systemach liczbowych.

Podczas dodawania lub mnożenia dwóch liczb niewymiernych wynik może być liczbą wymierną lub niewymierną. Zależy to od konkretnych wartości i właściwości liczb wyjściowych. Na przykład suma dwóch liczb niewymiernych może dać wynik wymierny, jeśli są one pierwiastkami tego samego równania. Z drugiej strony, iloczyn dwóch liczb niewymiernych może być również wymierny lub niewymierny, w zależności od ich wzajemnego oddziaływania. Należy pamiętać, że właściwości liczb niewymiernych mogą przejawiać się inaczej w różnych działaniach matematycznych. Suma π i π wynosi 3,1415926535… + 3,1415926535… = 6,2831853071… , co jest równoważne 2π. To wyrażenie matematyczne pokazuje znaczenie liczby π w geometrii i trygonometrii. Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy i jest liczbą niewymierną, co czyni ją istotną w różnych dziedzinach nauki i techniki. Zrozumienie właściwości liczby π i jej pochodnych, takich jak 2π, pomaga w rozwiązywaniu problemów dotyczących okręgów i kątów.

Iloczyn pierwiastków √3 i √27 wynosi √81, co daje 9.

Liczby niewymierne w geometrii

Liczbę niewymierną można wyznaczyć, obliczając długość przeciwprostokątnej trójkąta równobocznego o bokach równych jeden. W tym przypadku długość przeciwprostokątnej oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa i wynosi ona √2. Wartość ta jest niewymierna, ponieważ nie można jej zapisać jako ułamka zwykłego, co czyni ją ważnym przedmiotem badań matematycznych. Liczby niewymierne, takie jak √2, odgrywają zatem kluczową rolę w geometrii i teorii liczb, otwierając nowe horyzonty w zrozumieniu systemów liczbowych.

Obliczenie obwodu koła jest niemożliwe bez użycia liczby niewymiernej π (pi). Aby wyznaczyć obwód, należy skorzystać ze wzoru: L = πD lub L = 2πr, gdzie L oznacza obwód, D to średnica, a r to promień. Oznacza to, że pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Zrozumienie tego stosunku jest ważne nie tylko w matematyce, ale także w różnych naukach ścisłych, takich jak fizyka i inżynieria, gdzie precyzyjne pomiary i obliczenia odgrywają kluczową rolę.

Praca z liczbami niewymiernymi w Pythonie

W tym samouczku pokażemy, jak drukować liczby niewymierne wartości do konsoli za pomocą Pythona. Programowanie w Pythonie. Aby wykonać to zadanie, użyjemy modułu matematycznego do pracy ze stałymi i wyodrębniania pierwiastków, a także klasy Decimal z modułu decimal, aby poprawić dokładność obliczeń. Zaczniemy od zaimportowania niezbędnych obiektów, aby rozpocząć.

Moduł matematyczny udostępnia trzy ważne stałe: pi, dwie pi i stałą Eulera. Możesz łatwo wyświetlić ich wartości. Stałe te są często używane w obliczeniach matematycznych i są szeroko stosowane w różnych dziedzinach nauki i inżynierii. Użycie precyzyjnych wartości tych stałych poprawia dokładność obliczeń i jakość wyników.

Liczba miejsc dziesiętnych jest ograniczona do 15, mimo że rozpatrywane wartości są niewymierne. Dzieje się tak, ponieważ typ danych zmiennej jest ustawiony na float, co ogranicza dokładność przechowywania większych wartości. Ważne jest, aby być świadomym tych ograniczeń podczas pracy z danymi liczbowymi w programowaniu, aby uniknąć utraty precyzji i błędnych obliczeń.

W tym artykule przyjrzymy się, jak znaleźć pierwiastek kwadratowy z 2 za pomocą funkcji sqrt() z modułu matematycznego, a także specjalnego operatora potęgowania **. Pozwoli nam to zrozumieć, jak te narzędzia działają w Pythonie i jak można ich używać do obliczeń. Funkcja sqrt() zapewnia prosty sposób na uzyskanie pierwiastka kwadratowego, podczas gdy operator ** umożliwia potęgowanie, którego można również użyć do znajdowania pierwiastków. Obie metody są ważnymi narzędziami do operacji matematycznych w programowaniu.

Obie metody działają podobnie, ale wynik jest ograniczony do 16 cyfr. Dla większej precyzji zaleca się użycie klasy Decimal. Aby to zrobić, musisz utworzyć obiekt i przypisać go do zmiennej x, ustawiając parametr prec (precyzja) na wartość taką jak 10000. Następnie powinieneś wywołać metodę sqrt() dla tej zmiennej, co pozwoli ci uzyskać dokładniejszy wynik obliczenia pierwiastka kwadratowego.

Otrzymaliśmy 10 000 miejsc po przecinku podczas obliczania pierwiastka kwadratowego z 2. Inne liczby niewymierne można badać w podobny sposób. Na przykład pierwiastki kwadratowe z 3, 5 i innych liczb również mają nieskończoną liczbę miejsc po przecinku. Te wartości niewymierne interesują nie tylko matematyków, ale także programistów pracujących z obliczeniami numerycznymi. Badanie takich liczb może pomóc w opracowaniu algorytmów do dokładniejszych obliczeń i modelowania matematycznego.

Na koniec rozważmy obliczenie liczby niewymiernej pi na podstawie cech naszej planety. Obwód Ziemi wynosi około 40 075,017 kilometrów, a średnica 12 756 kilometrów. Korzystając ze wzoru na obwód koła L = πD, możemy uzyskać wartość liczby Pi, korzystając z następującego wzoru: π = L/D. W ten sposób, podstawiając znane wartości, możemy wyznaczyć liczbę Pi, biorąc pod uwagę rzeczywisty rozmiar Ziemi.

Uzyskaliśmy przybliżoną wartość liczby Pi, której dokładność sięga trzech miejsc po przecinku. Wynika to z faktu, że pierwotne dane były przybliżone. W rezultacie ponownie otrzymaliśmy liczbę niewymierną o nieskończonym okresie. Liczba Pi jest ważną stałą w matematyce i jest szeroko stosowana w różnych dziedzinach, takich jak geometria, fizyka i inżynieria. Jego unikalne właściwości sprawiają, że jest przedmiotem badań i zainteresowania naukowców i studentów.

Krótko o tym, co najważniejsze

W tym artykule przeanalizowaliśmy koncepcję liczb niewymiernych, ich podstawowe właściwości, a nawet zademonstrowaliśmy fragment nieskończonego chaosu za pomocą kodu Pythona. Liczby niewymierne stanowią ważny element analizy matematycznej i mają unikalne cechy, które odróżniają je od liczb wymiernych. Omówiliśmy również, jak te liczby można przedstawiać w obliczeniach i jakie mają znaczenie w różnych kontekstach matematycznych.

Podsumowując kluczowe aspekty:

• Liczby niewymierne to nieskończone ułamki dziesiętne z niepowtarzalną wartością po przecinku.
• To odróżnia je od liczb wymiernych, które również mogą być ułamkami nieskończonymi, ale zawsze zawierają powtarzającą się kropkę po przecinku.
• Jednak oba typy liczb należą do tego samego zbioru liczb rzeczywistych.
• Najsłynniejszym przedstawicielem zbioru liczb niewymiernych jest liczba pi (π = 3,141592…). Najczęściej używa się go w geometrii do obliczania obwodu koła.
• Wszystkie działania matematyczne dotyczą liczb niewymiernych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie.

Przeczytaj także:

• Liczby wymierne: definicja, właściwości i przykłady
• „Mam 47 lat i wciąż zastanawiam się, jaki inny kurs IT wybrać”: Ścieżka kariery menedżera wyższego szczebla w nauce o danych
• Matematyka dla początkujących: Co należy przejrzeć przed rozmową kwalifikacyjną na stanowisko naukowca o danych