Spis treści:
Podstawy Pythona: Bezpłatny kurs dla wszystkich poziomów umiejętności Poziomy Poznaj 4 ekscytujące projekty do swojego portfolio Możliwość rozmowy na żywo z ekspertem i wymiany doświadczeń
Dowiedz się więcejZanim przejdziemy do dyskusji, odświeżmy swoją wiedzę i rozwiążmy kilka typowych problemów.
- Co to jest log3 81?
- A lg 2 × lb 10?
- Najpierw skorzystajmy z własności logarytmów, która pozwala nam dodawać logarytmy o tej samej podstawie. Możemy zapisać:
log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 = log₂₁₆ (2 * 3) = log₂₁₆ 6.
Teraz musimy znaleźć wartość log₂₁₆ 6. Ponieważ 16 można zapisać jako 2 do potęgi 4, możemy zapisać logarytm w następujący sposób:
log₂₁₆ 6 = log₂ (6) / log₂ (16).
Teraz obliczamy log₂ (16). Ponieważ 16 = 2^4, to log₂ (16) = 4.
Teraz podstawmy tę wartość do równania:
log₂₁₆ 6 = log₂ (6) / 4.
W związku z tym suma log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 jest równa log₂ (6) / 4.
Jeśli udało Ci się bez problemu rozwiązać wszystkie trzy zadania w pamięci, bez użycia kalkulatora, możesz bezpiecznie przejść do ostatniej części. A dla tych, którzy trochę zapomnieli lekcji szkolnych, oferujemy krótki, pięciominutowy program edukacyjny.
Czym jest logarytm?
W istocie logarytm można traktować jako działanie odwrotne do potęgi. Na przykład, weźmy równanie 2^3 = 8. W tym równaniu:
- Dwa to podstawa.
- Trzy to wartość wykładnika.
- Osiem to wynik podniesienia liczby do potęgi.
Proces podniesienia liczby do potęgi ma dwa działania odwrotne. Pierwsze jest związane z określeniem podstawy, co odbywa się poprzez wyciągnięcie pierwiastka, a drugie jest związane ze znalezieniem wykładnika, co odbywa się za pomocą logarytmów.
Dlatego równanie 23 = 8 można przekształcić do postaci logarytmicznej, otrzymując log2 8 = 3.
Utrwalmy zdobytą wiedzę: logarytm to liczba, do której należy podnieść podstawę 2, aby uzyskać w rezultacie 8.
Oznaczenia mogą wydawać się nieoczywiste i na początku łatwo pomylić podstawę z potęgą. Aby zapobiec takim błędom, warto zastosować następującą regułę:
W logarytmie podstawa znajduje się na dole, podobnie jak w przypadku podnoszenia do potęgi.
Aby lepiej zrozumieć format zapisu, zwróć uwagę na poniższe zwroty i spróbuj zrozumieć ich znaczenie:
- log3 9 = 2
- log4 64 = 3
- log5 625 = 4
- log7 343 = 3
- log10 100 = 2
- log2 128 = 7
- log2 0,25 = −2
- log625 125 = 0,75
Ogólnie rzecz biorąc, zapis logAB interpretujemy jako logarytm liczby B o podstawie A.
Definicja logarytmu naturalnego: czym jest?
Głównym elementem każdego logarytmu jest jego podstawa. Dzięki wspólnej podstawie dla różnych funkcji logarytmicznych możliwe jest wykonywanie na nich różnorodnych działań.
Liczba Eulera, oznaczona literą e, jest podstawą logarytmu naturalnego. Jest to liczba niewymierna, która jest w przybliżeniu równa 2,71828.
Najpierw wyjaśnijmy, czym są liczby niewymierne. Liczb tych nie da się zapisać jako ułamka zwykłego, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi, a mianownik musi być różny od zera.
Na przykład 0,333… jest liczbą wymierną, ponieważ można ją przedstawić jako ułamek 1/3. Z kolei liczby takie jak pi czy pierwiastek kwadratowy z 2 uważa się za niewymierne.
Ponieważ logarytmy naturalne są powszechnie używane, opracowano specjalną notację do ich reprezentacji: ln x jest równoważne loge x.
Załóżmy, że mamy kryształ o masie 1 kg, który rośnie o 100% rocznie. Na pierwszy rzut oka można by założyć, że po roku jego masa wyniesie 2 kg, ale rzeczywistość okazuje się inna.
Każda nowa część kryształu zainicjuje własny proces wzrostu. Gdy kryształ osiągnie masę 1,1 kg, będzie rósł w tempie 1,1 kg rocznie, a gdy osiągnie 1,5 kg, będzie rósł w tym samym tempie 1,5 kg rocznie. Według obliczeń matematyków po roku ciężar kryształu wyniesie e, co stanowi około 2,71828 kg.
Ten typ wzrostu nazywa się wykładniczym. Zgodnie z tym modelem bakterie rozmnażają się, populacje rosną, dochody rosną, kule śnieżne się akumulują, substancje radioaktywne rozpadają się i napoje stają się zimne.
Aby określić masę kryształu po trzech, pięciu lub dziesięciu latach, należy podnieść liczbę e do odpowiedniej potęgi czasu.
e3 ≈ 20,0855 kg
e5 ≈ 148,4132 kg
e10 ≈ 22 026,4658 kg
Jak możemy określić moment, w którym masa kryształu osiągnie jedną tonę? Aby to zrobić, musimy sformułować równanie:
ex = 1000
Mamy wartość podstawy stopnia i wynik podniesienia do potęgi – teraz musimy wyznaczyć wykładnik. To budzi pewne skojarzenia, prawda? W istocie jest to logarytm: x = loge 1000! Lub, w skróconej formie, można to zapisać jako x = ln 1000.
Jeśli uruchomisz obliczenia na kalkulatorze, możesz stwierdzić, że x jest w przybliżeniu równe 6,9. Tyle czasu zajmie kryształowi osiągnięcie masy jednej tony.
Różne systemy logarytmiczne: logarytmy dziesiętne i binarne
Logarytm dziesiętny to logarytm, którego podstawą jest 10. Zwykle oznacza się go jako lg x. Ten typ logarytmu jest szczególnie wygodny, ponieważ pozwala na łatwe wykonywanie obliczeń na liczbach okrągłych.
Logarytm binarny to logarytm o podstawie 2. Oznacza się go jako lb x i jest powszechnie używany wśród programistów, ponieważ komputery przetwarzają i przechowują informacje w systemie liczb binarnych.
Podstawowe charakterystyki i równania funkcji logarytmicznej
Lista operacji dostępnych do pracy z logarytmami nie jest aż tak długa. Gdy opanujesz wszystkie podstawowe zasady i nauczysz się je stosować, będziesz w stanie rozwiązywać zadania logarytmiczne z taką łatwością, jak rozłupywanie pestek słonecznika.
Logarytmy mają pewne ograniczenia. Argument i podstawa logarytmu muszą być liczbami dodatnimi, a podstawa nie może być równa jeden. W terminologii matematycznej formułuje się to następująco:
Przyjrzyjmy się właściwościom logarytmów. Działają w obu kierunkach, co pozwala na ich stosowanie zarówno po lewej, jak i prawej stronie.
Logarytm jedności, niezależnie od podstawy, zawsze wynosi zero.
Na przykład logarytm o podstawie 17 z 1 wynosi 0.
Logarytm, w którym liczba i podstawa pokrywają się, jest zawsze równy jeden.
Na przykład logarytm liczby 17 do podstawy 17 jest równy 1.
Podstawowa tożsamość logarytmiczna głosi, że logarytm liczby do podstawy jest równy potęgi, do której należy podnieść tę podstawę, aby uzyskać tę liczbę. Wyraża się to wzorem: jeśli a jest podstawą, b jest liczbą, to log_a(b) = c, gdzie c jest potęgą, którą należy podnieść, aby a^c = b.
Na przykład logarytm z podstawa 17 liczby 175 to 5.
Logarytm iloczynu dwóch liczb jest równy sumie logarytmów tych liczb.
Na przykład: log5 12,5 + log5 10 można przekształcić na log5 (12,5 × 10), co jest równe log5 125, co z kolei jest równe 3.
Logarytm ilorazu dwóch liczb można wyrazić jako różnicę logarytmów licznika i mianownika.
Na przykład możesz zapisać następujące wyrażenie: log3 63 minus log3 7. To równa się log3 (63 podzielone przez 7), co upraszcza się do log3 9, co równa się 2.
6. Gdy podstawa lub argument znajdują się w potędze, można je wygodnie przyjąć poza logarytmem:
Z podanych dwóch równań można wyciągnąć następujące wnioski:
Na przykład: log23 49 można zapisać jako 9/3 pomnożone przez log2 4, co jest równe 3 pomnożonemu przez 2, a w rezultacie otrzymujemy 6.
7. Jeśli podstawa logarytmu sprawia trudności, można ją zastąpić wygodniejszą.
Na przykład wyrażenie log25 125 można przekształcić w następujący sposób: log5 125 podzielone przez log5 25. Jako W rezultacie otrzymujemy 3/2, co jest równe 1,5.
Z tego wzoru możemy wywnioskować, że podstawę i argument można zamienić w następujący sposób:
Na przykład: log16 4 można przedstawić jako 1/log4 16, co z kolei jest równe 1/2, co ostatecznie daje 0,5.
Metody samodzielnego rozwiązywania równań logarytmicznych
Teraz ponownie wrócimy do problemów przedstawionych na początku artykułu.
Przykład 1
Pamiętaj, że 81 równa się 92. A 9 równa się 32. Zatem:
log3 81 = log3 92 = log3 (32 + 2) = log3 34
Teraz logarytmy nie stanowią już problemu. Zastosujmy własność potęg i wyodrębnijmy cztery.
log₃ 34 = 4 × log₃ 3 = 4 × 1 = 4
Odpowiedź: 4.
Przykład 2
Przekształćmy skrócone oznaczenia w ich pełne wyrażenie:
Równanie lg 2 × lb 10 = log10 2 × log2 10 można zapisać, korzystając z własności logarytmów.
Po pierwsze, pamiętajmy, że lg i log10 odnoszą się do tego samego logarytmu, tego o podstawie 10, a lb odnosi się do logarytmu o podstawie 2.
Możemy zatem zapisać równanie w bardziej znany sposób:
log10(2) × log2(10) = log10(2) × log2(10).
Zatem obie strony równania są równe, a ta równość jest prawdziwa ze względu na właściwości logarytmów i ich związek.
Przekształćmy oba logarytmy na tę samą podstawę.
log10 2 razy log2 10 wynosi 1, ponieważ można to sobie wyobrazić jako 1 podzielone przez log2 10 pomnożone przez log2 10. Jest to również równe log2 10 podzielone przez log2 10, co ostatecznie daje 1.
Odpowiedź: 1.
Przykład 3
Zastosujmy prawo dodawania.
log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 można połączyć, korzystając z własności logarytmów. To wyrażenie jest równoważne log₂₁₆ (2 × 3), czyli log₂₁₆ 6.
Przedstawmy 216 jako potęgę 6 i uprośćmy ją, korzystając z własności potęg.
log₂₁₆ 6 to log₆₃ 6, który jest 1/3 razy log₆ 6, który jest 1/3 razy 1, co jest 1/3.
Odpowiedź: 1/3.
Metody obliczania logarytmów w Pythonie
Aby wykonywać działania na wyrażeniach logarytmicznych w Pythonie, należy najpierw dołączyć moduł math.
Teraz możemy obliczyć log2 8 za pomocą math.log(b, a) Funkcja:
Zwróć uwagę na dwa kluczowe aspekty. Po pierwsze, przekazujemy argument do funkcji, a następnie określamy podstawę. Po drugie, niezależnie od tego, czy wynik jest liczbą całkowitą, funkcja zawsze zwraca wartość zmiennoprzecinkową.
Jeśli podstawa nie jest określona podczas wywołania funkcji, domyślnie przyjmowany jest logarytm naturalny.
Istnieją unikalne podejścia do obliczania zarówno logarytmów dziesiętnych, jak i binarnych.
Python ma specjalną metodę, która zwiększa przekazany argument o jeden, a następnie oblicza logarytm naturalny z otrzymanej wartości.
W sytuacjach, gdy wartość x dąży do zera, to podejście zapewnia większą dokładność w porównaniu z funkcją math.log(1+x). Porównaj:
Oto kluczowe narzędzia do manipulowania logarytmami w Pythonie.
Przeczytaj również:
- Podstawy matematyki dla początkujących: Co odświeżyć przed rozmową kwalifikacyjną na stanowisko Data Science.
- Test: Jak dobrze znasz strukturę Internetu?
- Programista ML to specjalista, który tworzy i wdraża algorytmy uczenia maszynowego. Jego praca obejmuje analizę danych, tworzenie modeli oraz ich testowanie i optymalizację w celu rozwiązywania różnych problemów.
Do głównych obowiązków programisty ML należy wstępne przetwarzanie danych, dobór odpowiednich modeli i algorytmów, ich trenowanie i ocena ich wydajności. Specjaliści ci często współpracują z innymi zespołami, takimi jak analitycy danych i inżynierowie, w celu integracji rozwiązań z istniejącymi systemami.
Jeśli chodzi o zarobki, poziom dochodów programistów ML różni się w zależności od regionu, doświadczenia i firmy. Specjaliści w tej dziedzinie mogą liczyć średnio na wysokie wynagrodzenie, często przekraczające średnią dla sektora IT, ze względu na duże zapotrzebowanie na ich umiejętności i wiedzę.
